Fernrohrmathematik

Inhaltsverzeichnis

Hier gehr es um grundsätzlichen Dinge, die man für das Teleskop berechnen kann. Höhere Mathematik ist nicht nötig, man kommt eigentlich mit den Grundrechenarten aus. Ein bischen Geometrie ist hilfreich, um die Ableitungen zu verstehen, aber damit findet man auch nicht mehr Sterne. Anhand dieser Werte kann man allerdings nichts über die Qualität der Optik erfahren.

KEINE GEWÄHR FÜR DIE RICHTIGKEIT UND VOLLSTÄNDIGKEIT DIESER ANGABEN!

Das meiste habe ich aus dem Internet und meine, es verstanden zu haben.Schlußfolgerungen nicht-logischer Natur sind mit Vorsicht zu genießen.

Ein Teleskop mit Okular hat die untenstehenden Grundeigenschaften, die mehr oder weniger voneinander abhängig wirken.

• Öffnungsdurchmesser (mm)
  der Durchmesser des Objektivs, bzw. der Öffnung eines Newtons vorne, immer da, wo das Licht eintritt.
• Brennweite des Objektivs bzw. Spiegels(mm)
  bezeichnet den Abstand desjenigen Punktes, in dem das Objektiv (beim Refraktor) bzw. der Spiegel (beim Spiegelteleskop) parallel zur Mittelachse eintreffende Lichtstrahlen bündelt.
• Okularbrennweite (mm)
  bezeichnet den Abstand desjenigen Punktes, in dem das Objektiv (beim Refraktor) bzw. der Spiegel (beim Spiegelteleskop) parallel zur Mittelachse eintreffende Lichtstrahlen bündelt.
• Öffnungsverhältnis
  ist das Verhältnis zwischen Okularöffnung und Brennweite des Objektivs/Spiegels. Man redet von schnellen und langsamen Teleskopen. f/5 ist schneller als f/10, und das bezieht sich auf die Belichtungszeit beim Fotografieren.
• Austrittspupille (mm)
  Durchmesser des Lichtbündels beim Austreten aus dem Okular, erkennbar als runder Fleck auf der Linse.
• Vergrößerung
  Wieviel größer ein Objekt durch das Teleskop erscheint, als mit blossem Auge.
  Eigentlich handelt es sich um das Verhältnis der Abbildungswinkel mit und ohne Teleskop.
• Gesichtsfeld (Grad)
  beschreibt den Winkel des Konus, der den Blick durch das Teleslkop beschränkt, bzw. die Größe des Himmelsausschnitts, den man sehen kann.
• scheinbares Gesichtsfeld (des Okulars)(Grad)
  quasi das Gesichtsfeld des Okulars ohne Fernrohr.
• Okular/OAZ-Durchmesser(Zoll oder mm)
  der Durchmesser der Okularaufnahme, üblich sind 1-1/4" und 2", es gibt aber auch kleinere und größere Durchmesser
• Feldblende (des Okulars) (mm)
  Eine Blende auf der Innenseite des Okulars, die das Gesichtsfeld begrenzt.
• Auflösung(Bogensekunden)
  der kleinste Abstand, bei dem zwei Punkte noch als zwei Punkte erscheinen.
• Vergrößerungsfaktor einer Barlow-Linse

Je nach Bauart kann man noch weitere Werte finden. Die kommen vielleicht später dazu.

Öffnungsverhältnis

Öffnungsdurchmesser (mm) / Brennweite des Okulars (mm) = Öffnungsverhältnis
Dieser Wert wird üblicherweise in der Form f/n dargestellt, ein Öffnungsverhältnis von 6 würde man also als "f/6" darstellen.

Vergrößerung

Brennweite des Objektivs (mm) / Brennweite des Okulars (mm) = Vergrößerung
Interessant ist hier, daß ein Okular mit kleinerer Brennweite eine höhere Vergrößerung bewirkt. Man hat für die Vergrößerung eines Teleskops übrigens Grenzen bestimmt, die weiter unten berechnet werden.

Maximale sinnvolle Vergrößerung

Öffnungsdurchmesser (mm) x 2 = maximale sinnvolle Vergrößerung
Eine plausible Begründung für diesen Wert suche ich noch. Er hat wohl mit dem Auflösungsvermögen des menschlichen Auges zu tun und es heißt, daß höhere Vergrößerungen praktisch keine weiteren Details sichtbar machen. Und obendrein kann man diese Auflösung auch nur dann nutzen, wenn die Sichtverhältnisse optimal sind.

Vergrößerung mit Barlow-Linsen

Vergrößerungsfaktor der Barlow-Linse x aktuelle Vergrößerung = neue Vergrößerung

Austrittspupille

Öffnungsdurchmesser (mm) / Vergrößerung = Austrittspupille (mm)
Brennweite des Objektivs (mm) / Öffnungsverhältnis = Austrittspupille (mm)

Gesichtsfeld

Hier gibt es zwei Formeln, die unterschiedliche Ergebnisse liefern. Die Herleitung der ersten ist mir leider nicht bekannt, sie scheint aber realistischere Werte zu liefern. Eine absolut korrekte Berechnung ist vermutlich komplizierter.
Unabhängig von dieser Formel ist das maximale Gesichtsfeld eines Teleskops mit 1-1/4" Okularauszug anscheinend ungefähr 1,7°.

Durchmesser der Feldblende des Okulars (mm) / Brennweite des Objektivs/Spiegels (mm) x 57,3° = Gesichtsfeld (Grad)
scheinbares Gesichtsfeld des Okulars (Grad) / Vergrößerung = Gesichtsfeld (Grad)

Auflösung des Teleskops

Wieder zwei Formeln, was aber auch daran liegt, daß man erstmal formulieren muß, was man unter "Auflösung" überhaupt verstehen will.

Nach Dawes:
Alpha (Bogensekunden) = 113 / D (Öffnung in mm)

Nach Raleight:
Alpha (Bogensekunden) = 138 / D (Öffnung in mm)

Abschließend noch ein paar Erläuterungen zum Verständnis dieser Werte.

Eine einzelne Linse hat eigentlich keine Brennweite in einem festen Abstand, vielmehr wird das Licht abhängig von seiner Wellenlänge gebrochen. Daß heißt in der Praxis, daß z.B. rotes Licht in einem anderen Punkt gebündelt wird, als blaues Licht. Die frühesten Teleskope zeigten daher recht bunte Bilder, weil eben nur eine Wellenläge perfekt fokussiert werden konnte und alle anderen Farben unscharf abgebildet wurden. Heute hat man raffinierte Linsenkombinationen und benutzt unterschiedliche Glassorten, um einen möglichst großen Bereich des sichtbaren Spektrums so genau wie möglich in einem Punkt sammeln zu können. Weitere Lektüre hierzu z.B. unter den Stichworten "Achromat" und "Apochromat" - im Internet. Dieses Problem betrifft in erster Linie das Objektiv, ist also bei Spiegelteleskopen zu vernachlässigen, da die kurzen Brennweiten der Okulare diesen Effekt kaum sichtbar machen. Bei Spiegelteleskopen gibt es wieder andere Probleme.

Barlow-Linsen verändern genau genommen nicht die Vergrößerung, sondern die Brennweite des Objektivs. Sie sind also gewissermaßen Bestandteil des Objektivs. Während die Vergrößerung mit einem Okular von 5 mm Brennweite genau dieselbe ist, wie mit einem Okular von 10 mm in Verbindung mit einer 2x-Barlow-Linse, unterscheiden sich beide Versionen durch das Einblickverhalten. So hat z.B. hat ein Okular mit 5 mm Brennweite einen geringeren Augenabstand als ein Okular mit 10 mm Brennweite und gleicher Konstruktion, und dieser Augenabstand wird durch das Vorschalten einer Barlow-Linse nicht verändert (ohne Gewähr, habe ich noch nicht selbst ausprobiert!).

Die Austrittspupille definiert, wieviel Licht in das Auge des Betrachters gelangt. Je größer die Austrittspupille, desto heller wird das Bild. Allerdings wird dabei auch der Hintergrund heller, der "Lichtabstand" zwischen sichtbaren Himmelsobjekten und dem scheinbaren leeren Himmel (der Himmel ist natürlich in keiner Richtung leer, die Sterne sind aber zu weit weg, um sie noch einzeln wahrnehmen zu können) dazwischen scheint desto geringer, je heller das Bild wird. Eine Austrittspupille, die größer ist, als die Pupille des beobachtenden Auges, kann man nicht ausnutzen. Es ist üblich, zu diesem Thema Romane zu schreiben. Ich beschränke mich hier auf einige Anmerkungen: Die menschliche Pupille paßt ihre Größe ja der Umgebungshelligkeit an. Hierbei kann sie einen Durchmesser von Stecknadelkopfgröße bis maximal 7 mm annehmen. Die Elastizität der Pupille läßt im Alter nach und man hat gemessen, daß manche Menschen nur noch einen maximalen Pupillendurchmesser von 4 mm erreichen. Da nun jeder Mensch individuell altert, muß man die eigene Pupille vermessen, Tabellen gibt es dafür zwar auch, aber das sind nur Durchschnittswerte, von denen das eigene Auge sehr stark abweichen kann. Man sagt, eine Austrittspupille von 0,5 mm ist schon sehr klein und dunkel, also mehr oder weniger das Minimum, das man dem menschlichen Auge zumuten kann; obendrein ist dieser Wert individuell verschieden. Eine Austrittspupille von 7 mm ist das absolute Maximum, das man gemessen hat. Manche ältere Menschen erreichen nur noch eine Pupillengröße von 4 mm und nutzen ein Lichtbündel dieser Größe längst nicht mehr aus.

Zur Bedeutung des Gesichtsfelds:

• Das Gesichtsfeld beschreibt die Größe des Himmelsausschnitts, den man sieht, in Grad
• Das Gesichtsfeld hat nichts mit der Menge des Lichts zu tun, das dem Auge geliefert wird.
• Die Austrittspupille ist völlig unabhängig vom Gesichtsfeld, wenn sie nicht künstlich, z.B. durch eine Blende, begrenzt wird.
• Das maximal erreichbare Gesichtsfeld mit einem 1-1/4"-Okular ist anscheinend 1,7°, die Grundlagen dafür habe ich noch nicht herausgefunden.
• Vermutlich bringen Okularrechner im Internet noch realistischere Formeln, als die von mir genannten.

Für nähere Erläuterungen zur Auflösung empfehle ich z.B. Wikipedia. Grundsätzlich geht es darum, zu bestimmen, wie klein Details sein können, die man durch ein Teleskop noch unterscheiden kann. Als Beispiel wird häufig die "Trennschärfe" von Doppelsternen genannt. Ein kleinerer Wert bedeutet ein höheres Auflösungsvermögen. Davon hängt also z.B. ab, ob man auf Nachbar's Dach noch die Beine einer Ameise zählen kann. Und bei einem höheren Wert kann man vielleicht nicht mal sehen, daß da tatsächlich zwei Ameisen nebeneinander spazieren.

 

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